Question

（1997•台湾）已知：如图，AB=AC，AQ为任一弦与BC相交于P点．求证：AB为AP与AQ之比例中项．

Answer 1

分析：由AB=AC，可证得∠Q=∠ABP，又由公共角相等，可证得△ABQ∽△APB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AB为AP与AQ之比例中项．

解答：证明：∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠Q=∠ABP，
∵∠BAQ=∠PAB（公共角），
∴△ABQ∽△APB，
∴AB：AP=AQ：AB，
∴AB²=AP•AQ．
即AB为AP与AQ之比例中项．

点评：此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．