Question

【题目】如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12．

（1）求证：△ABF∽△ACB；

（2）求证：FB是⊙O的切线；

（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，45

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAC=90°，从而得出∠BAF=∠BAC=90°，最后根据相似三角形的判定定理即可证出结论；

（2）根据相似三角形的性质可得∠ABF=∠C，然后利用等量代入可得∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°，从而证出结论；

（3）根据角平分线的性质可得MA=ME，利用SAS即可证出△AMN≌△EMN，然后根据平行线的性质和等角对等边可证AN=NE=EM=MA，从而证出四边形AMEN是菱形，然后利用锐角三角函数和勾股定理即可求出BD、AD和AB，从而求出DE，然后证出△BND∽△BME，列出比例式即可求出ME，从而求出结论．

（1）证明：BC为⊙O的直径

∠BAC=90°

∠BAF=∠BAC=90°

又AB2=AF·AC

△ABF∽△ACB

（2）证明：

△ABF∽△ACB

∠ABF=∠C

又∠ABC+∠C=90°

∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°

BF是⊙O的切线

（3）证明：ME⊥BC，MA⊥AB，BM平分∠ABC

MA=ME

∠AMN=90°－∠ABM=90°－∠EBM=∠EMN

∴AB=BE

∵NM=NM

△AMN≌△EMN

AN=NE

又AD⊥BC，ME⊥BC，

ME∥AD，

∠ANM=∠EMN，

∠ANM=∠AMN

AN=AM

AN=NE=EM=MA，

四边形AMEN是菱形．

cos∠ABD=，∠ADB=90°

设BD=3x，则AB=5x，AD=

又AD=12，

x=3，

BD=9，AB=15，

BE=BA=15

DE=BE-BD=6

ND∥ME，

∠BND=∠BME

△BND∽△BME

设ME=y，则ND=12-y，

，

解得y=

S=