Question

如图①，在□ABCD中，对角线AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥BC于点E，交折线AB-AD于点F，以EF为边在其右侧作正方形EFGH，使EH边落在射线BC上．点E从点B出发，以每秒1个单位的速度在BC边上运动，当点E与点C重合时，点E停止运动，设点E的运动时间为t（）秒．
（1）□ABCD的面积为          ；当t=      秒时，点F与点A重合；
（2）点E在运动过程中，连接正方形EFGH的对角线EG，得△EHG，设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围；
（3）作点B关于点A的对称点Bˊ，连接CBˊ交AD边于点M（如图②），当点F在AD边上时，EF与对角线AC交于点N，连接MN得△MNC．是否存在时间t，使△MNC为等腰三角形？若存在，请求出使△MNC为等腰三角形的时间t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）40；2            
（2） 
（3），或，或  

解析试题分析：
（1）考查学生利用平行四边形和直角三角形解决基本问题的能力，运用直角三角形勾股定理和三角函数即可得解．
（2）关键确定几个分界点，通过题意及动点所在位置，确定几个分界，通过等式得出函数关系式．
（3）注意分类情况，可能是CN="CM" 或MN=MC或 MN=NC，分别解出即可．
试题解析：
（1）∵AC⊥AB，∴在Rt△BAC中BC=10，
tan∠B="2"
又
∴AC=，AB= ∴S_Rt△BAC=40
∴BE=2   ∴         
（2）依题意得分类可得，①当△EHG与△ABC的重叠部分都
在△ABC内部，S最大面积时，G落在AC上，则
△BEF∽△AFG，  AF=，BF=，AF+BF=，∴，S=（）
②当F点与A点重合时， 即，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得
S=
③当F点过A点时，则当时，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得
S=
④当时，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得
S=


（3）CM=CN时，
MC=MN时，
NM=NC时，   
考点：1．平行四边形性质；2．相似三角形判定及性质定理；3．动点与取值范围的关系．