Question

【题目】已知：如图，△ABC是等边三角形，点D是平面内一点，连接CD，将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE，AD，并延长AD交BE于点P．

（1）当点D在图1所在的位置时

①求证：△ADC≌△BEC；

②求∠APB的度数；

③求证：PD+PE＝PC；

（2）如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②∠APB＝60°；③见解析；（2）当∠ADC＝90°时，CE取最大值为2．

【解析】

（1）①根据旋转的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定证明即可；

②根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答即可；

③根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）当∠ADC＝90°时，CE取最大值，进而利用直角三角形的性质解答即可．

（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，

∴CE＝CD，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠DCE＝60°，

∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC＝∠DAC，

∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠PBC+∠BAD＝60°，

∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；

③∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD＝60°，∠BAD+∠DBC＝60°，

∴∠BAD+∠ABD＝∠BDP＝60°，

∵∠APB＝60°，

∴△BDP是等边三角形，

∴DP＝BP，

∴PD+PE＝BE，

∵△ADC≌△BEC，

∴AD＝BE，

∵在△ABD与△CBP中

，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴AD＝PC，

∴PD+PE＝PC；

（2）当∠ADC＝90°时，CE取最大值，

∵AB＝AC＝4，AD＝2，

∴CD＝ ，

∴CE＝2，

即当∠ADC＝90°时，CE取最大值为2．