Question

已知关于x的二次函数y=x²-mx+

m2+1

2

与y=x²-mx-

m2+2

2

，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；
（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的判别式，可以判断函数的图象与x轴交点情况；
（2）把A点坐标为（-1，0）代入函数解析式，求出m的值，令y=0，求出一元二次方程的解即可；
（3）根据二次函数的性质判断其增减性；

解答：解：（1）对于关于x的二次函数y=x²-mx+

m2+1

2

，
由于△=（-m）²-4×1×

m2+1

2

=-m²-2＜0，
所以此函数的图象与x轴没有交点；
对于关于x的二次函数y=x²-mx-

m2+2

2

，
由于△=（-m）²-4×1×（-

m2+2

2

）=3m²+4＞0
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．
故图象经过A、B两点的二次函数为y=x²-mx-

m2+2

2

；
（2）将A（-1，0）代入y=x²-mx-

m2+2

2

，得1+m-

m2+2

2

=0．
整理，得-m²+2m=0．
解之，得m=0，或m=2．
当m=0时，y=x²-1．
令y=0，得x²-1=0．
解这个方程，得x₁=-1，x₂=1，
此时，B点的坐标是B（1，0）；
当m=2时，y=x²-2x-3．
令y=0，得x²-2x-3=0．
解这个方程，得x₁=-1，x₂=3，
此时，B点的坐标是B（3，0）．
（3）当m=0时，二次函数为y=x²-1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0，
所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．
当m=2时，二次函数为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，此函数的图象开口向上，
对称轴为直线x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．

点评：主要考查了二次函数的与x轴交点的求法，以及二次函数的增减性．