Question

13．如图，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l₂：y=kx-6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（8，0），B为（0，4）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l₂于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l₁的解析式，再分别令直线l₁的解析式中x=0、y=0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；
（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l₂的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）分AB为边和AB为对角线两种情况讨论．当AB为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当AB为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（1）将点C（4，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b中，
得：2=-2+b，解得：b=4，
∴直线l₁为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
令y=-$\frac{1}{2}$x+4中x=0，则y=4，
∴B（0，4）；
令y=-$\frac{1}{2}$x+4中y=0，则x=8，
∴A（8，0）．
故答案为：8；0；0；4．
（2）∵点C（4，2）是直线l₂：y=kx-6上的点，
∴2=4k-6，解得：k=2，
∴直线l₂为y=2x-6．
∵点E的横坐标为m（0≤m≤4），
∴E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），F（m，2m-6），
∴EF=-$\frac{1}{2}$m+4-（2m-6）=10-$\frac{5}{2}$m．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴BO=EF，即4=10-$\frac{5}{2}$m，
解得：m=$\frac{12}{5}$．
故当m=$\frac{12}{5}$时，四边形OBEF是平行四边形．
（3）假设存在．
以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况：
①以AB为边，如图1所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴AB=4$\sqrt{5}$．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴AP=AB或BP=BA．
当AP=AB时，点P（8-4$\sqrt{5}$，0）或（8+4$\sqrt{5}$，0）；
当BP=BA时，点P（-8，0）．
当P（8-4$\sqrt{5}$，0）时，Q（8-4$\sqrt{5}$-8，0+4），即（-4$\sqrt{5}$，4）；
当P（8+4$\sqrt{5}$，0）时，Q（8+4$\sqrt{5}$-8，0+4），即（4$\sqrt{5}$，4）；
当P（-8，0）时，Q（-8+8-0，0+0-4），即（0，-4）．
②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴M（4，2），AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA=∠BOA=90°，
∴△AMP∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{OA}$，
∴AP=5，
∴点P（8-5，0），即（3，0）．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴点Q（8+0-3，0+4-0），即（5，4）．
综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为（-4$\sqrt{5}$，4）、（4$\sqrt{5}$，4）、（0，-4）或（5，4）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）找出关于m的一元一次方程；（3）分AB为边或对角线考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，充分利用平行四边形和菱形的性质是解题的关键．