Question

【题目】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．

答案：∠DAC＝45°

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；

（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠DAC的度数不会改变，值为45°；（2）n°．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；

（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∠DAC的度数不会改变；

∵EA＝EC，

∴∠AED＝2∠C，①

∵∠BAE＝90°，

∴∠BAD＝ [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，

∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②

由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；

（2）设∠ABC＝m°，

则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，

∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，

∵EA＝EC，

∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，

∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．