Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

3

）为圆心，以2

3

长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．
（1）求点C、P的坐标；
（2）求证：BE=2OE．

Answer 1

分析：（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；
（2）连接AC，证△AMC为等边三角形，根据等边三角形的三个内角都是60°、直径所对的圆周角∠ACP=90°求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．

解答：（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°
∴AO=OB=3
又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=2

3

∴P点坐标为（3，2

3

）（2分）
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2

3

，
根据勾股定理得：AP=4

3

，
所以圆的半径MC=2

3

，又OM=

3

，
所以OC=MC-OM=

3

，
则C（0，-

3

）（1分）

（2）证明：连接AC．
∵AM=MC=2

3

，AO=3，OC=

3

，
∴AM=MC=AC=2

3

，
∴△AMC为等边三角形（2分）
又∵AP为圆M的直径
得∠ACP=90°
得∠OCE=30°（1分）
∴OE=1，BE=2
∴BE=2OE．（2分）

点评：本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．解答该题时通过作辅助线AC、BP构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．