Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合）．
（1）以AB为对称轴，作点C的对称点为C′，连接CC′交AB于点E；
（2）在（1）的条件下，当BC=1，AC=2时，计算BE的长；
（3）在（2）的条件下，将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆锥的计算

专题：计算题

分析：（1）过C作CC′⊥AB，交AB交于点E，由AB为圆O的直径，垂直于CC′，利用垂径定理得到E为CC′的中点，可得出此时C′与C对称；
（2）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形ABC为直角三角形，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形ABC面积的两种求法求出斜边AB边上的高CE的长，在直角三角形EBC中，利用勾股定理即可求出BE的长；
（3）将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到一个几何体为两底面重合的圆锥，底面半径都为CE，母线分别为AC与BC，其表面积即为两圆锥的侧面积，利用侧面积公式求出即可．

解答：解：（1）过C作CC′⊥AB，交AB交于点E，
∵AB为圆O的直径，
∴E为CC′的中点，
则C′为C关于AB的对称点；
（2）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，
根据勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=

5

，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

AC•BC，
∴CE=

AC•BC

AB

=

2 5

5

，
在Rt△BEC中，BC=1，CE=

2 5

5

，
根据勾股定理得：BE=

BC2-EC2

=

5

5

；
（3）∵AC=2，CE=

2 5

5

，BC=1，
∴所求几何体的表面积S=π•CE•AC+π•CE•BC=

6 5

5

π．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆锥的侧面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．