Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．

(1)求⊙O的半径；

(2)点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

Answer 1

【答案】(1)⊙O的半径为；(2)；(3)．

【解析】

(1)若连接OB，则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；

(2) 连接OP，设AB与QP交于点M，根据题中条件证得∠QPO=∠A=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OQ；

(3)可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值．

(1)连接OB，如图

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠A=30°，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

在Rt△OBC中，，

即，

解得，

即⊙O的半径为；

(2)连接OP，设AB与QP交于点M，

∵点P为的中点，

∴OP⊥AB，

∴∠QPO+∠PMB=90°，

∵PQ⊥AC，

∴∠A+∠AMQ=90°，

又∵∠AMQ=∠PMB，

∴∠QPO=∠A=30°，

在Rt△OPQ中，，

即，

∴

(3)在Rt△OBC中，

∵，∠OBC=30°，∠ACB=90°

∴，

∴，

∴．