Question

18．（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图①如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．
证明：过P作PM∥AB．
所以∠A=∠APM，（两直线平行，内错角相等）
因为PM∥AB，AB∥CD（已知）
所以∠C=∠CPM（两直线平行，内错角相等）
因为∠APC=∠APM+∠CPM
所以∠APC=∠A+∠C（等量代换）
（2）如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=540°．
（3）如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=x-y+z（用x、y、z表示）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可得；
（2）过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥CD，将∠A、∠P、∠Q、∠C划分为6个3对同旁内角，由平行线的性质可得；
（3）延长PQ交CD于点E，延长QP交AB于点F，可得∠BFP=∠CEQ，根据三角形外角定理知∠BFP=∠BPQ-∠B、∠CEQ=∠PQC-∠C，整理后即可得．

解答 解：（1）过P作PM∥AB，
所以∠A=∠APM，（两直线平行，内错角相等）
因为 PM∥AB，AB∥CD （已知  ）
所以 PM∥CD，
所以∠C=∠CPM，（两直线平行，内错角相等）
因为∠APC=∠APM+∠CPM
所以∠APC=∠A+∠C  （等量代换 ），
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠CPM；两直线平行，内错角相等．

（2）如图②，过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥CD，

∴∠A+∠APM=180°，∠C+∠CQN=180°，
又∵AB∥CD，
∴PM∥QN，
∴∠MPQ+∠NQP=180°，
则∠A+∠APQ+∠CQP+∠C=∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C=540°，
故答案为：540°．

（3）如图③，延长PQ交CD于点E，延长QP交AB于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BFP=∠CEQ，
又∵∠BPQ=∠BFP+∠B，∠PQC=∠CEQ+∠C，
即∠BFP=∠BPQ-∠B，∠CEQ=∠PQC-∠C，
∴∠BPQ-∠B=∠PQC-∠C，即y-x=z-m，
∴m=x-y+z，
故答案为：x-y+z．

点评 本题主要考查平行线的性质，作出合适的辅助线将待求角恰当分割是解题的关键．