Question

（2013•湖北）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）根据已知操作步骤画出即可；
（2）根据已知得出符合条件的有4种情况，画出图形即可；
（3）根据题意得出第1次操作前短边与长边之比为：

1

5

，

4

5

；

3

7

，

4

7

；

2

7

，

5

7

；

3

8

，

5

8

，最终得出长边和短边的比是1：2，即可进行操作后得出正方形．

解答：解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：


（2）裁剪线的示意图如下：


（3）b：c的值为

1

5

，

4

5

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

3

8

，

5

8

，
规律如下：第4次操作前短边与长边之比为：

1

2

；
第3次操作前短边与长边之比为：

1

3

，

2

3

；
第2次操作前短边与长边之比为：

1

4

，

3

4

；

2

5

，

3

5

；
第1次操作前短边与长边之比为：

1

5

，

4

5

；

3

7

，

4

7

；

2

7

，

5

7

；

3

8

，

5

8

．

点评：本题考查了矩形性质，正方形性质，寻找规律的应用，主要考查学生的变换能力和了解能力，注意：要进行分类讨论．