Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图.

（1）若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高；

（2）若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）连接AC，根据圆周角定理可得∠BAC＝90°,则AC⊥AB，由平行四边形的性质可得AB∥CD，继而可得AC即为平行四边形ABCD的边CD上的高；

（2）连接BD交圆于点E，连接CE并延长交AD于点F，则CF⊥BC，过点A作AE∥CF，根据切线性质可得AD＝CD，继而得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得BD⊥AC，BD平分AC，根据垂径定理证得：BE为圆的直径，进而可得CF⊥BC，继而有AE⊥BC, 即AE是平行四边形ABCD的边BC上的高.

解：（1）如图①所示，连接AC，AC为所求的高；

理由如下：∵BC是圆的直径，

∴∠BAC＝90°

∴AC⊥AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD

∴AC⊥CD

∴AC是平行四边形ABCD的边CD上的高；

（2）如图②所示，连接BD交圆于点E，连接CE并延长交AD于点F，则CF⊥AD，过点A作AE∥CF，则AE即为所求的高.

理由如下：∵AD、CD都与圆相切

∴AD＝CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，BD平分AC

∴BE是圆的直径，

∴∠BCE＝90°

∴CF⊥BC

又∵AE∥CF

∴AE⊥BC，即AE是平行四边形ABCD的边BC上的高。