好学的小红在学完三角形的角平分线后.钻研了下列4个问题.请你一起参与.共同进步．如图.△ABC.点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点.点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．问题(1):若∠BAC=50°.则∠BIC= °.∠BDC= °．问题(2):．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系.并说明理由．问题(3):若∠BAC=x°.则当∠ACB等于度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步．
如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．
问题（1）：若∠BAC=50°，则∠BIC=

°，∠BDC=

°．
问题（2）：．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
问题（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于

度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB．说明理由．
问题（4）：若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数．

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）已知点I是两角B、C平分线的交点，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

（∠ABC+∠ACB）=180°-

（180°-∠A）=90+

∠BAC，由此可求∠BIC；因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，可证∠BDC=180°-∠BIC=90-

∠BAC，由此可求∠BDC；
（2）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=

∠BAC；
（3）当CE∥AB时，∠BEC=

∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=

（180-∠BAC）．
（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．

解答：解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

（180°-∠A）
=90+

∠BAC=115°；
∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-

∠BAC=65°；

（2）∠BEC=

∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-

∠BAC）
=

∠BAC；

（3）当∠ACB等于（180-2x）°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=x°，
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ACG=2∠ACE=2x°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=2x°-x°=x°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=（180-2x）°．

（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°
若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；
若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；
若∠D=3∠E时∠BAC=45°；
若∠E=3∠D时∠BAC=135°．
故答案为：（1）115，65；（2）∠BEC=

∠BAC；（3）180-2x；（4）若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．

点评：本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．

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（1）求证：BC=DC；
（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系xO_y，则点B的坐标为（4，0），设点D的坐标为（m，n）若m，n是方程x²+px+p+8=0的两根，求P的值；
（3）在（2）中的坐标系中，直线y=kx+8上存在点H，使△ABH为直角三角形，若这样的H点有且只有两个，请直接写出符合条件的k的值或取值范围．