Question

5．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=$\frac{k}{x}$是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若函数y=x²是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{2013}{x}$的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）二次函数y=x²的图象开口方向向上，最小值是0，且当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；分以下三种情况：0≤a＜b、a＜0＜b、a＜b≤0，分别根据闭函数定义列出关于a、b的方程组，求解后依据a、b的范围取舍即可得．

解答 （1）反比例函数y=$\frac{2013}{x}$是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=$\frac{2013}{x}$在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2013；
当x=2013时，y=1，
所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y=$\frac{2013}{x}$是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；

（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴此函数的解析式是y=x；
②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m+n}\end{array}\right.$．
∴此函数的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵该二次函数y=x²的图象开口方向向上，最小值是0，且当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；
∴分以下三种情况讨论：
①当0≤a＜b时，根据闭函数定义知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=a}\\{{b}^{2}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
②当a＜0＜b时，此时二次函数的最小值为0，由闭函数定义知a²=0，b²=a或b²=b，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
③当a＜b≤0时，根据闭函数定义知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=b}\\{{b}^{2}=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
综上，a=0，b=1．

点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．