Question

9．梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD．

（1）如图1，AD=2，BC=6，AB=3，P在BC上，E在CD上，PB=2PC，∠APE=∠B，求CE的长；
（2）如图2，P是BC的中点，∠APE=∠B，连AE，求证：∠BAP=∠EAP；
（3）如图3，AD=2，BC=6，AB=3，E为AB的中点，F为BC上一点，CE、CF相交于G点，若∠AGD=∠B，求CF．

Answer 1

分析 （1）与等腰梯形的性质得出∠B=∠C，∵BC=6，求出BP=4，PC=2，由三角形的外角性质得出∠BAP=∠CPE，证出△ABP∽△PCE，得出对应边成比例，即可得出答案；
（2）同（1）得：△ABP∽△PCE，得出$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$，证出$\frac{AB}{BP}=\frac{AP}{PE}$，得出△ABP∽△APE，即可得出结论；
（3）延长DA交CE的延长线于M，延长AG交BC于点T，由平行线证明△AME∽△BCE，得出AM=BC=6，证出∠ATB=∠FDC，得出△ABT∽△FCD，得出比例式$\frac{AB}{BT}=\frac{FC}{CD}$，由平行线得出比例式$\frac{AD}{FT}=\frac{DG}{GF}=\frac{DM}{CF}$，设BF=x，得出FT=$\frac{6-x}{4}$，得出 $\frac{3}{x+\frac{6-x}{4}}=\frac{6-x}{3}$，解得：x=4，x=0，即可得出答案．

解答 （1）解：∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C，
∵BC=6，PB=2PC，
∴BP=4，PC=2，
∵∠APE=∠B，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$，即$\frac{3}{2}=\frac{4}{CE}$，
解得：CE=$\frac{8}{3}$；

（2）证明：同（1）得：△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$，
∵P是BC的中点，
∴BP=PC，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{AP}{PE}$，
又∵∠B=∠APE，
∴△ABP∽△APE，
∴∠BAP=∠EAP；

（3）解：延长DA交CE的延长线于M，延长AG交BC于点T，如图所示：
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵AD∥BC，
∴△AME∽△BCE，
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AE}{BE}$=1，
∴AM=BC=6，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，∠DAT=∠ATB，
∵∠B=∠BCD，∠AGD=∠B，
∴∠AGD=∠B=∠BCD，
由三角形内角和定理得：∠DAT=∠CDF，
∴∠ATB=∠FDC，
∴△ABT∽△FCD，
∴$\frac{AB}{BT}=\frac{FC}{CD}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AD}{FT}=\frac{DG}{GF}=\frac{DM}{CF}$，
设BF=x，则$\frac{2}{FT}=\frac{8}{6-x}$，
解得：FT=$\frac{6-x}{4}$，
∴$\frac{3}{x+\frac{6-x}{4}}=\frac{6-x}{3}$，
整理得：3x²-12x=0，
解得：x=4，x=0，
∴BF=4或BF=0，
∴CF=2，或CF=BC=6．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．