Question

如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；

（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB；

（2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标；

（4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃．

解答：

（1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，

∵I为△BOD的外心，∴IO=ID，

又F为OD的中点，∴IF⊥OD．

∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，

∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，

∴△OAD≌△EAB．

（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线，

∴BO=BD=AB=2，

∴OA=BO﹣AB=2﹣．

由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣，

∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）．

设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax²+bx，

则有，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=x²+x．

（3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称，

∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P．

由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2．

∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y=x²+x上，

∴﹣x+2=x²+x，解此方程得：x=2或x=，

当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=2﹣，

∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2﹣）．

（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，

∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，

∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形．

若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．

如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃．

∵DM₁=DB=2，OA=2﹣，∴M₁（﹣，）．

由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+．

I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点，

∴I（1，﹣1），即M₃（1，﹣1）．

故符合题意的M点的坐标为（﹣，），（1，﹣1）．

点评：

本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高．