Question

【题目】如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．

（1）求证：EF为⊙P的切线；

（2）求⊙P的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5

【解析】

（1）连接CP，根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA，由角平分线的定义得到∠PAC=∠EAC，等量代换得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠BAC=∠OAC，根据等腰三角形的性质得到∠PCA=∠PAC，等量代换得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接CP， ∵AP=CP，

∴∠PAC=∠PCA，

∵AC平分∠OAB，

∴∠PAC=∠EAC，

∴∠PCA=∠EAC，

∴PC∥AE，

∵CE⊥AB，

∴CP⊥EF，

即EF是⊙P的切线；

（2）由（1）知，PC∥AB，

∴△OPC∽△OAB，

∴

∵A（-8，0），B（0，），

∴OA=8，OB=，

∴AB=，

∴ ，

∴PC=5，

∴⊙P的半径为5．