Question

（本小题满分１２分）如图， 内接于，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接是的中点，连结．

（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：；
（3）若，求的面积．

Answer 1

（1）猜想：．
证明：如图，连结OC、OD．
∵，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有．
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
而∠CAE＝∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF （ASA）
∴． 
（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H．则H为BD的中点．
∴OH＝AD，即AD=2OH．
又∠CAD＝∠BADCD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB
∴，即
∴
又，∴．
∴                  … ①
设，则，AB=．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF-AC=
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
     …②  
由①、②，得．
∴．解得或（舍去）．
∴
∴⊙O的半径长为．
∴ 

略