Question

已知，如图1，抛物线y=ax²+bx过点A（6，3），且对称轴为直线x=

5

2

．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx过点A（6，3），且对称轴为直线x=

5

2

，利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，将△OAB分成△OBH和△ABH两部分求解；
（3）假设存在满足题意的D点，再根据△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形这一条件解答．

解答：解：（1）由题知：

36a+6b=3 - b 2a = 5 2

解之，得

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴该抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-

5

2

x．

（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，
由题知直线OA为：y=

1

2

x，
∴设点H(m，

1

2

m)，点B(m，

1

2

m2-

5

2

m)，∴BH=

1

2

m-(

1

2

m2-

5

2

m)=-

1

2

m2+3m，
∴S=S_△OBH+S_△ABH=

1

2

BH×6=

1

2

(-

1

2

m2+3m)×6=-

3

2

m2+9m，
=-

3

2

(m-3)2+

27

2

(0＜m＜6)，
∴当m=3时，S最大=

27

2

；


（3）存在，点B为（1+

11

，

7-3 11

2

）或（5-

15

，

15-5 15

2

），
理由如下：设在抛物线的对称轴(x=

5

2

)上存在点D满足题意，
过点D作DQ⊥BC于点Q，
则由（2）有点C(m，

1

2

m)，点B(m，

1

2

m2-

5

2

m)，BC=-

1

2

m2+3m
∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形
∴DQ=

1

2

BC，即是：|m-

5

2

|=

1

2

(-

1

2

m2+3m)且（0＜m＜6），
若m-

5

2

=

1

2

(-

1

2

m2+3m)，解之：m1=1-

11

（舍去），m2=1+

11

，
当m2=1+

11

时，y=

1

2

(1+

11

)2-

5

2

(1+

11

)=

7-3 11

2

，
∴点B（1+

11

，

7-3 11

2

），
若

5

2

-m=

1

2

(-

1

2

m2，+3m)，解之：m3=5-

15

，m4=5+

15

（舍去），
当m3=5-

15

时，y=

1

2

(5-

15

)2-

5

2

(5-

15

)=

15-5 15

2

，
∴点B为(5-

15

，

15-5 15

2

)，
综上，满足条件的点B为（1+

11

，

7-3 11

2

）或（5-

15

，

15-5 15

2

）．

点评：本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，难度较大，需要对各部分知识熟练掌握并灵活应用．