Question

12．如图，已知直线y=x+k和双曲线y=$\frac{k+1}{x}$（k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S₁，当k=2时，△OAB的面积记为S₂，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S_n，若S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答．
（3）根据当k=1时，S₁=$\frac{1}{2}$×1×（1+2）=$\frac{3}{2}$，当k=2时，S₂=$\frac{1}{2}$×2×（1+3）=4，…得到当k=n时，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+n+1）=$\frac{1}{2}$n²+n，根据若S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，列出等式，即可解答．

解答 解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=$\frac{k+1}{x}$化为：y=x+1和y=$\frac{2}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（1，2），B（-2，-1），
（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=$\frac{k+1}{x}$化为：y=x+2和y=$\frac{3}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（1，3），B（-3，-1）
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=m+n}\\{-1=-3m+n}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=x+2
∴直线AB与y轴的交点（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3=4；
（3）当k=1时，S₁=$\frac{1}{2}$×1×（1+2）=$\frac{3}{2}$，
当k=2时，S₂=$\frac{1}{2}$×2×（1+3）=4，
…
当k=n时，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+n+1）=$\frac{1}{2}$n²+n，
∵S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×（${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\\;…+{n}^{2}$…+n²）+（1+2+3+…n）=$\frac{133}{2}$，
整理得：$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}+\frac{n（n+1）}{2}=\frac{133}{2}$，
解得：n=6．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标．在（3）中注意找到三角形面积的规律是关键．