Question

如图，正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE，连接BG并延长交DE于H．
（1）求证：∠BGC=∠DEC．
（2）若正方形ABCD的边长为1，试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？

Answer 1

分析：（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC；
（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD=

2

，CE=BE-BC=

2

-1，根据全等三角形的性质求解即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD、GCEF都是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC
∴△BCG≌△DCE（3分）
∴∠BGC=∠DEC（4分）

（2）连接BD
如果BH垂直平分DE，则有BD=BE（6分）
∵BC=CD=1，
∴BD=

2

（8分）
∴CE=BE-BC=

2

-1（9分）
∴CG=CE=

2

-1
即当CG=

2

-1时，BH垂直平分DE．（10分）

点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练掌握．