Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）14．

【解析】

（1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论；

（2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，ABBC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．

（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）

＝4k2+4k+1﹣16k+12

＝4k2﹣12k+13

＝（2k﹣3）2+4，

∵（2k﹣3）2≥0，

∴△＞0，

∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，ABBC＝4k﹣3，

而AB2+BC2＝AC2＝（）2，

∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，

整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，

而AB+BC＝2k+1＞0，ABBC＝4k﹣3＞0，

∴k的值为3，

∴AB+BC＝7，

∴矩形ABCD的周长为14．