Question

6．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$与y=-$\frac{3}{x}$分别为一第一、第四象限，A是y轴上任意一点，B是y=-$\frac{3}{x}$上的点，C是y=$\frac{k}{x}$上的点，线段BC⊥x轴于点D，且4BD=3CD，则下列说法：①双曲线y=$\frac{k}{x}$在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为（3，-$\frac{4}{3}$）；③△ABC的面积为定值7，正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据函数图象所在象限可得k＞0，根据反比例函数的性质可得①正确；再根据函数解析式结合点B的横坐标为3，可得纵坐标，然后再根据4BD=3CD可得C点坐标；再利用C点坐标，根据图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得k的值；首先表示出B，C点坐标，进而得出BC的长，即可得出△ABC的面积

解答 解：①∵双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限，
∴k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确；
②∵点B的横坐标为3，
∴y=-$\frac{3}{3}$=-1，
∴BD=1，
∵4BD=3CD，
∴CD=$\frac{4}{3}$，
∴点C的坐标为（3，$\frac{4}{3}$），故②错误；
③设B点横坐标为：x，则其纵坐标为：-$\frac{3}{x}$，故C点纵坐标为：$\frac{4}{x}$，
则BC=$\frac{4}{x}$+$\frac{3}{x}$=$\frac{7}{x}$，
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×x×$\frac{7}{x}$=3.5，故此选项错误．
故选：A．

点评 考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大