【题目】等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;
(1)如图(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;
(2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB=∠CDE
(3)如图(3),在等腰Rt△ABC不断运动的过程中,若满足BD始终是∠ABC的平分线,试探究:线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)C(﹣1,﹣1);(2)见解析;(3)BD=2(OA+OD).
【解析】
试题分析:(1)过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1,AF=OB=2,求得OF的值,就可以求出C的坐标;
(2)过点C作CG⊥AC交y轴于点G,先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD,∠DCE=∠GCE=45°,再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论;
(3)在OB上截取OH=OD,连接AH,由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD,可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO,再证明△ACE≌△BAH就可以得出结论.
(1)解:过点C作CF⊥y轴于点F,
∴∠AFC=90°,
∴∠CAF+∠ACF=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AC=AB,∠CAF+∠BAO=90°,∠AFC=∠BAC,
∴∠ACF=∠BAO.
在△ACF和△ABO中,
,
∴△ACF≌△ABO(AAS)
∴CF=OA=1,AF=OB=2
∴OF=1
∴C(﹣1,﹣1);
(2)证明:过点C作CG⊥AC交y轴于点G,
∴∠ACG=∠BAC=90°,
∴∠AGC+∠GAC=90°.
∵∠CAG+∠BAO=90°,
∴∠AGC=∠BAO.
∵∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAO=90°,
∴∠ADO=∠BAO,
∴∠AGC=∠ADO.
在△ACG和△ABD中
∴△ACG≌△ABD(AAS),
∴CG=AD=CD.
∵∠ACB=∠ABC=45°,
∴∠DCE=∠GCE=45°,
在△DCE和△GCE中,
,
∴△DCE≌△GCE(SAS),
∴∠CDE=∠G,
∴∠ADB=∠CDE;
(3)解:在OB上截取OH=OD,连接AH
由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD.
∵∠ADH=∠BAO.
∴∠BAO=∠AHD.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABO=∠EBO,
∵∠AOB=∠EOB=90°.
在△AOB和△EOB中,
,
∴△AOB≌△EOB(ASA),
∴AB=EB,AO=EO,
∴∠BAO=∠BEO,
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO.
∴∠AEC=∠BHA.
在△AEC和△BHA中,
,
∴△ACE≌△BAH(AAS)
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD
∴BD=2(OA+OD).
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【题目】为了解中学生获取资讯的主要渠道,设置“A:手机,B:电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”五个选项(五项中必选且只能选一项)的调查问卷,先随机抽取50名中学生进行该问卷调查,则该调查的方式是_______.(填普查或抽样调查)
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
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【题目】如图.矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3.则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
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【题目】某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份,以每份0.8元的价格销售x份﹙x<500﹚,未销售完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收回。这次买卖中该老板赚钱____元。
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出C1的坐标;
(2)以原点O为对称中心,再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.
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【题目】计算
(1)x(﹣x2)x3;
(2)(xy)5÷(xy)3
(3)a5(﹣a)3+(﹣2a2)4;
(4)|﹣2|+(﹣2)2+(7﹣π)0﹣()﹣1.
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