Question

如图，已知：AB是定圆的直径，O是圆心，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，交AB于C，PC=5．PT是⊙O的切线（T为切点）．
（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT=3，求⊙O的半径；
（2）当C点与A点重合时，求CT的长；
（3）设PT²=y，AC=x，写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质定理发现直角三角形，根据勾股定理进行计算；
（2）首先根据勾股定理计算出OP的长，再根据切线长定理和等腰三角形的三线合一发现直角三角形PGC．再根据相似三角形的性质得到比例式，从而求解；
（3）根据切割线定理求解．

解答：解：（1）连接OT，如图1
∵在Rt△OTP中PO=PC=5，PT=3，
∴OT=

52-32

=4，
∴⊙O的半径OT=4；


（2）若C与A重合，连接PO，PO与CT交于G，如图2
则PO⊥CT，且CG=TG；
由Rt△PCO可得PO=

PC2+OC2

=

25+16

=

41

，
由Rt△PCO∽Rt△PGC，
∴

5

CG

=

41

4

，
∴CG=

20 41

41

，
∴CT=

40 41

41

；

（3）延长PC与⊙O交于F，如图3
∵AB是直径，EC⊥AB，
∴CE=CF，
∴CE²=AC•BC=x（8-x），
∵PT²=PE•PF，
即y=（PC-EC）（PC+EC）=PC²-CE²=25-x（8-x）=x²-8x+25（0≤x≤4）．

点评：此题综合运用了勾股定理、切线长定理和切割线定理．