Question

如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=

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2

AC，D是AC中点．
（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线l（写出作法，保留作图痕迹）；
（2）若P是线段AD的垂直平分线l上一点且满足条件：位于线段AD的上方，∠PAD=30°，连接PB、PC、PD，求证：PB=PC．

Answer 1

考点：作图—基本作图,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线的做法作图即可；
（2）首先根据线段垂直平分线的性质可得PA=PD，再利用SAS定理证明△PAB≌△PDC可得PB=PC．

解答：解：（1）分别以A、D为圆心，大于

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AD长为半径画弧，两弧交于点M、N，再过M、N画直线l即可；

（2）∵∠BAC=120°，∠PAD=30°，
∴∠BAP=150°，
∵l是AD的垂直平分线，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA=30°，
∴∠PDC=150°，
∵D是AC中点，AB=

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AC，
∴AB=DC，
在△PAB和△PDC中

PA=PD ∠PAB=∠PDC AB=DC

，
∴△PAB≌△PDC（SAS），
∴PB=PC．

点评：此题主要考查了线段垂直平分线的做法和性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出图形，找出证明△PAB≌△PDC的条件．