Question

20．如图，∠AOB=90°，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC上的任意一点P上，使三角形的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E，F．
（1）求证：PE=PF；
（2）若点E在OA的反向延长线上，其他条件不变，问PE=PF还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△EPO≌△FPD，即可得PE=PF；
（2）结论仍然成立，如图2，作辅助线，同理得出△EPO≌△FPD，则PE=PF．

解答 证明：（1）过P作PD⊥OC，交OB于D，则∠OPD=90°，
∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∴△POD是等腰直角三角形，
∴∠PDO=45°，PO=PD，
∴∠AOC=∠PDO=45°，
∵∠EPO+∠OPF=90°，∠OPF+∠FPD=90°，
∴∠EPO=∠FPD，
∴△EPO≌△FPD，
∴PE=PF
（2）PE=PF成立，理由是：
如图2，P作PD⊥OC，交OB于D，则∠OPD=90°，
同理得：△POD是等腰直角三角形，
∴∠PDO=45°，PO=PD，
∴∠POD=∠PDO=45°，
∴∠POE=90°+45°=135°，
∠PDF=180°-45°=135°，
∴∠POE=∠PDF，
∵∠EPO+∠EPD=90°，∠EPD+∠FPD=90°，
∴∠EPO=∠FPD，
∴△EPO≌△FPD，
∴PE=PF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，利用三角板中的直角和同角的余角相等，构建辅助线，即作角平分线的垂线，得到△EPO和△FPD，证明这两个三角形全等即可．