Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=1：3，对角线AC、BD交于点O，那么S_△AOD：S_△BOC：S_△AOB=

1. A.
   1：3：3
2. B.
   1：9：1
3. C.
   1：9：3
4. D.
   1：3：2

Answer 1

C
分析：过A作AE垂直于OD，交OD于E，由AD与BC平行，得到两对内错角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形AOD与三角形COB相似，且相似比为AD：BC=1：3，进而得到两三角形的面积之比等于相似比得平方等于1：9，由三角形AOB与三角形AOD，高为同一条高，面积之比等于OD：OB也等于两相似三角形的相似比1：3，综上，求出三个三角形的面积之比．
解答：解：过A作AE⊥OD，交OD于E，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD：BC=1：3，
∴S_△AOD：S_△BOC=1：9，OD：OB=1：3，
又∵S_△AOD=OD•AE，S_△AOB=OB•AE，
∴S_△AOD：S_△AOB==OD：OB=1：3，
则S_△AOD：S_△BOC：S_△AOB=1：9：3．
故选C
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及梯形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，周长之比也等于相似比，面积之比等于相似比的平方．本题在探索三角形AOB与三角形AOD面积之比时，关键是作出公共高AE，根据三角形的面积公式分别表示出两三角形的面积，约分后得到两三角形面积之比等于两对边之比．