Question

在△ABC中，BC=5，M和I分别为△ABC的重心与内心，若MI∥BC，则AB+AC=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,三角形的重心

专题：

分析：首先连接AM并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径．根据三角形重心的性质及相似三角形的性质易得到

IE

AH

=

DM

AD

=

1

3

，即AH=3r．再利用三角形的面积计算公式s△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，故

1

2

BC•3r=

1

2

（AB+BC+CA）•r，即2BC=AB+CA即可得出答案．

解答：解：连接AM并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，
则IE为内切圆I的半径，
设IE=r．
∵IM∥BC，
∴

IE

AH

=

DM

AD

=

1

3

，即AH=3r．
∵s△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
故

1

2

BC•3r=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
即2BC=AB+CA=10．
故答案为：10．

点评：本题考查了三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．