Question

如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：AC=CP；
（2）⊙O的直径是6，以点B为圆心作圆，当半径为多长时，AC与⊙B相切？
（3）若PC=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，）

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC．
∵AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．即∠OCP=90°，
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．

（2）解：如图，连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又∵AC与⊙B相切，
∴BC即为⊙B的半径．
在直角△ACB中，∠A=30°，AB=6，则BC=AB=3；

（3）解：∵在Rt△OCP中，∠P=30°，
∴tan∠P==，
∴OC=2．
∵S_△OCP=CP•OC=×6×2=6且S_扇形COB=2π，
∴S_阴影=S_△OCP-S_扇形COB=6-2π≈4.1．
分析：（1）连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P=30°，即可证明；
（2）如图连接BC．由圆周角定理知AC⊥BC，然后根据“AC与⊙B相切”知BC即为⊙B的半径．
（3）阴影部分的面积即为直角三角形OCP的面积减去扇形OCB的面积．
点评：综合运用了切线的性质定理、圆周角定理以及扇形的面积公式．求（3）中的阴影部分的面积时采用了“分割法”．