Question

【题目】如图，在中，，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径和的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的半径是6，的长是．

【解析】

(1)利用切线的性质证得OD=OC，证得BO为的平分线，利用等角的余角相等结合对顶角相等即可证得结论；

(2)利用正切函数求得AB=20，设的半径为R，在中，利用切线长定理求得AD=8，AO=16-R，根据勾股定理求得R的值，在中，求得，利用正弦函数即可求解．

(1)如图，连接，

∵与相切于点，

∴，

∵，

∴，

∴BC是的切线，

又，

∴为的平分线，

∴，

∵于点，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴；

(2)∵，，

∴AC=16，

∵，即，

∴AB=20，

由(1)得，BD、BC都是切线，

∴BD=BC=12，

∴AD=AB-BD=20-12=8，

设的半径为R，

在中，OD=R，AO=16-R，AD=8，

∵，即，

∴R=6，

在中，BC=12，OC=6，

∵，即，

∴，

∵，

∴，即，

∴．