Question

12．如图所示，AB、AC是⊙O的两条弦．M、N分别是$\widehat{AB}$、$\widehat{AC}$的中点，MN交AB、AC于点E、F．求证：△AEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 根据圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理解答即可．

解答 证明：连接AM和AN，

∵M、N分别是$\widehat{AB}$、$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{BM}=\widehat{AM}，\widehat{AN}=\widehat{CN}$，
∵∠MAB和∠AMN的度数和等于$\widehat{AB}和\widehat{AC}$度数和的一半，
∠NAC和∠ANM的度数和等于$\widehat{AB}和\widehat{AC}$度数和的一半，
∴∠MAB+∠AMN=∠NAC+∠ANM，
∵∠AEF=∠MAB+∠AMN，∠AFE=∠NAC+∠ANM，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形．

点评 本题考查了圆心角、弧弦之间的关系，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，圆周角定理的应用，能推出∠AEF=∠AFE是解此题的关键，难度适中．