分析 (1)根据四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,E是AB的中点,F是BC的中点即可求出点E、点F的坐标;
(2)先利用相似三角形的性质求出△AEM∽△BFE,再由相似三角形的对应边成比例可求出AM的长,再根据OA=8即可求出OM的长,进而可求出M点的坐标;
(3)设G(0,n),过点P作GH⊥AB于点H,利用勾股定理可求出GF、GE、EF的长,再分GF=GE、GE=EF、GF=EF三种情况,列出方程求出n的值即可.
解答 解:(1)∵四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,E是AB的中点,F是BC的中点,
∴E(8,3),F(4,6);
(2)∵ME⊥EF,
∴∠BEF+∠AEM=90°,
∵∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠AEM=∠BFE,
又∵∠EAM=∠B=90°,
∴△AEM∽△BFE,
∴$\frac{AM}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$,
即$\frac{AM}{3}$=$\frac{3}{4}$,
∴AM=$\frac{9}{4}$,
∴OM=OA-AM=8-$\frac{9}{4}$=$\frac{23}{4}$,
∴M($\frac{23}{4}$,0);(9分)
(3)如图,
设G(0,n),
过点G作GH⊥AB于点H,
在Rt△CGF中,GF2=CF2+CG2=42+(6-n)2,
在Rt△EGH中,GE2=GH2+EH2=82+(3-n)2,
在Rt△BEF中,EF2=BE2+BF2=25,
①当GE=GF时GE2=GF2,
即82+(3-n)2=42+(6-n)2,
解得n=-$\frac{7}{2}$(不合题意,舍去);
②当GE=EF时GE2=EF2,
即82+(3-n)2=25,此方程无解;
③当GF=EF时GF2=EF2,
即42+(6-n)2=25,
解得n1=3,n2=9(不合题意,舍去),
综上,存在点G(0,3),此时△GEF是等腰三角形.
点评 此题考查四边形综合题,综合利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识解决问题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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