Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=2

2

，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连接AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，设BD=x．
（1）求证∠DCE=90°；
（2）当△DCE的面积为1.5时，求x的值；
（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，得到∠ABD与∠ACE相等，进而得到∠ACE+∠ACD=90°即证得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，从而得直角三角形的面积公式而解得；
（3）通过函数式的判断来得到．

解答：解：（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，（2分）
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，
∴∠ABD+∠ACD=90°，（3分）
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；（5分）

（2）∵AC=AB=2

2

，
∴BC²=AC²+AB²=(2

2

)2+(2

2

)2=16，
∴BC=4．（6分）
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面积为：

1

2

DC•CE=

1

2

（4-x）x．
∴

1

2

（4-x）x=1.5，（8分）
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．（10分）

（3）△DCE存在最大值．（11分）
理由如下：设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：
y=

1

2

（4-x）x（0＜x＜4），（12分）
=-

1

2

（x-2）²+2，
∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=2时，函数y有最大值2．（13分）
又∵x满足关系式0＜x＜4，
故当x=2时，△DCE的最大面积为2．（14分）

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，及一元二次方程、二次函数等基础知识，考查等价转换思想，运算求解等能力和创新意识等．