【题目】如图,在中,,,,点为边上一点,且.点从点出发.沿射线以每秒1个单位长度的速度运动.以、为邻边作.设和重叠部分图形的面积为(平方单位),点的运动时间为(秒).
(1)连结,求的长.
(2)当为菱形时,求的值.
(3)求与之间的函数关系式.
(4)将线段沿直线翻折得到线段.当点落在的边上时,直接写出的值.
【答案】(1);(2);(3);(4)或.
【解析】
(1)如图(见解析),先根据勾股定理求出AB的长,再根据平行线的判定得出,然后根据相似三角形的判定与性质可得,从而可得,,最后在中利用勾股定理即可得;
(2)如图(见解析),先根据菱形的性质得出,,再根据相似三角形的判定与性质可得,求解即可得;
(3)先根据平行四边形的性质,再找出两个临界位置:当点P运动至点F时和当点P运动至点A时,然后分别根据平行四边形、直角梯形的面积公式即可得;
(4)分①点落在AB边上和②点落在BC边上两种情况,①先利用折叠的性质、等腰三角形的性质得出,再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出,然后根据平行四边形的性质、平行线的性质、等量代换得出,从而可得,最后根据菱形的判定可得平行四边形CPDE是菱形,由(2)的结论即可得;②先根据折叠的性质得出平分,再根据角平分线的性质可得,然后根据(1)得出,从而可得,最后根据的面积公式列出等式求解即可.
(1)如图1,过点作于点
在中,
,
在中,
;
(2)如图2,当平行四边形为菱形时
由菱形的性质得:,
又
或(不符题意,舍去)
故的值为;
(3)四边形CPDE是平行四边形
,即
由题意,有两个临界位置,即当点P运动至点F时,所需时间为(秒);当点P运动至点A时,所需时间为(秒)
因此,分以下三种情况:
①如图3-1,当时
②如图3-2,当时,此时四边形CPDG为直角梯形,
③如图3-3,当时,此时四边形CADG为直角梯形
综上,与之间的函数关系式为;
(4)由题意,分以下两种情况:
①如图4-1,点落在AB边上
延长CE交AB于点H
由折叠的性质可知,,平分
(等腰三角形的三线合一)
,即
解得
在和中,
四边形CPDE是平行四边形
平行四边形CPDE是菱形
由(2)可知,此时
②如图4-2,点落在BC边上
过点E作于点N,延长DE交BC于点M,则
由折叠的性质可知,平分,则
由(1)可知,
解得
综上,所求的t的值为或.
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【题目】某公司投入研发费用40万元(40万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为4元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元件)之间满足函数关系式y=﹣x+20.
(1)求这种产品第一年的利润W(万元)与售价x(元件)满足的函数关系式;
(2)该产品第一年的利润为24万元,那么该产品第一年的售价是多少?
(3)第二年,该公司将第一年的利润24万元(24万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为3元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过10万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.
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【题目】如图,已知二次函数的图像过点,,与轴交于另一点,且对称轴是直线.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若是上的一点,作交于,当面积最大时,求的坐标;
(3)是轴上的点,过作轴,与抛物线交于,过作轴于.当以、、为顶点的三角形与、、为顶点的三角形相似时,求点的坐标.
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【题目】如图,点、在函数(,且是常数)的图像上,且点在点的左侧过点作轴,垂足为,过点作轴,垂足为,与的交点为,连结、.若和的面积分别为1和4,则的值为( )
A.4B.C.D.6
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【题目】2018年5月13日,大国重器﹣﹣中国第一艘国产航母正式海试,某校团支部为了了解同学们对此事的知晓情况,随机抽取了部分同学进行调查,并根据收集到的信息绘制了如下两幅不完整的统计图,图中A表示“知道得很详细”,B表示“知道个大概”,C表示“听说了”,D表示“完全不知道”,请根据途中提供的信息完成下列问题:
(1)扇形统计图中A对应的圆心角是 度,并补全折线统计图.
(2)被抽取的同学中有4位同学都是班级的信息员,其中有一位信息员属于D类,校团支部从这4位信息员中随机选出两位作为校广播站某访谈节目的嘉宾,请用列表法或画树状图法,求出属于D类的信息员被选为的嘉宾的概率.
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【题目】在中,.
(1)如图①,点在斜边上,以点为圆心,长为半径的圆交于点,交于点,与边相切于点.求证:;
(2)在图②中作,使它满足以下条件:
①圆心在边上;②经过点;③与边相切.
(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
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【题目】横卧于清波之上的黄石大桥与已经贯通的五峰山隧道将成为恩施城区跨越东西方向的最大直线通道,它把六角亭老城区与知名景点女儿城连为一体,缓解了恩施城区交通拥堵的现状.如图,某数学兴趣小组利用无人机在五峰山隧道正上空点P处测得黄石大桥西端点A的俯角为30°,东端点B(隧道西进口)的俯角为45°,隧道东出口C的俯角为22°,已知黄石大桥AB全长175米,隧道BC的长约多少米(计算结果精确到1米)?(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.4,1.7)
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【题目】在课外实践中,小明为了测量江中信号塔离河边的距离,采取了如下措施:如图在江边处,测得信号塔的俯角为,若米,,米,平行于,的坡度为,坡长米,则的长为( )(精确到0.1米,参考数据:,,)
A.78.6米B.78.7米C.78.8米D.78.9米
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