Question

14．先化简再计算：$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+x}}÷（{x-\frac{2x-1}{x}}）$，其中x是一元二次方程x²-x-2=0的正数根．

Answer 1

分析 先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=$\frac{1}{x-1}$，然后利用因式分解法解方程得到x=2，再把x=2代入原式=$\frac{1}{x-1}$中计算即可．

解答 解：原式=$\frac{（x+1）（x-1）}{x（x+1）}$÷$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$
=$\frac{（x+1）（x-1）}{x（x+1）}$•$\frac{x}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{1}{x-1}$，
解方程x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1（舍去），
∴x=2，
∴原式=$\frac{1}{2-1}$=1．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了因式分解法解一元二次方程．