【题目】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
(3)在(2)的条件下,BP=2,CQ=9,则BC的长为_______.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由AB=AC,AP=AQ可得BP=CQ,又因BE=CE,∠B=∠C=45°,利用“SAS”判定△BPE≌△CQE;
(2)如下图,连接PQ,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,所以∠BEP=∠EQC;再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CEQ;
(3)根据相似三角形的性质可得,把BP=2,CQ=代入上式可求得BE=CE,进而求得BC的长.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)如下图,连接PQ,
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ;
(3)∵△BPE∽△CEQ
∴
∵BP=2,CQ=9,BE=CE
∴
∴BE=CE=
∴BC=.
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【题目】四边形是正方形,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,连接,过点作交的延长线于,连接.
(1)依题意补全图1;
(2)直接写出的度数;
(3)连接,用等式表示线段与的数量关系,并证明.
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【题目】小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的三个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色,那么就能配成紫色.小明和小亮参加这个游戏,并约定:若配成紫色,则小明贏;若两个转盘转出的颜色相同,则小亮赢.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】(2017山东日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( )
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤
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【题目】某体育用品商店购进了足球和排球共20个,一共花了1360元,进价和售价如表:
足球 | 排球 | |
进价(元/个) | 80 | 50 |
售价(元/个) | 95 | 60 |
(l)购进足球和排球各多少个?
(2)全部销售完后商店共获利润多少元?
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【题目】如图,正方形ABCO的边长为,OA与x轴正半轴的夹角为15°,点B在第一象限,点D在x轴的负半轴上,且满足∠BDO=15°,直线y=kx+b经过B、D两点,则b﹣k=_____.
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【题目】请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图(1),图(2),(3)中作出△ABC的边AB上的高CD.
(1)如图(1),以锐角三角形ABC的边AB为直径的圆,与边BC、AC分别交于点E、F;
(2)如图(2),以等腰三角形ABC的底边AB为直径的圆,顶点C在圆内;
(3)如图(3),以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆,与最长的边AC相交于点E.
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【题目】如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O.若BO=6,PO=2,则AP的长,AO的长分别为__________.
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