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9.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M是BD的中点,MN⊥AC.
(1)求证:AN=NC;
(2)当MN=3cm,BD=10cm时,求AC的长.

分析 (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM=MC=$\frac{1}{2}$BD,从而推知N点是AC边上的中点,所以MN是AC的中垂线;
(2)在Rt△AMN中,利用勾股定理求得AN的长.

解答 (1)证明:连接AM、MC.
在△DCB和△BAD中,∠DAB=∠DCB=90°,M是边BD的中点,
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$BD,
∵MN⊥AC,
∴AN=CN;

(2)解:∵BD=10cm,M、N分别是边BD、AC的中点.
∴AM=$\frac{1}{2}$BD=5cm,
∵MN=3cm,
∴AN=$\sqrt{A{M}^{2}-M{N}^{2}}$=4cm.

点评 本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理.解题时,通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线,然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题.

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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

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∵∠A0B+∠BOC+∠COD+∠DOA=1周角.
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°(理由:周角的定义)
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOD+∠BOC=180°(理由:角的和差关系)
又∠BOC=42°,
∴∠AOD=180°-∠BOC=180°-42°=角的和差关系.

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