Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 , 再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

 又D（5，2），

 

∴C（0，2），OC=2 .

 ∴  

解得

∴抛物线的解析式为：

（2）点E落在抛物线上. 理由如下：

由y = 0，得.

解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.

∴OA=4，OB=1.

由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

∴点E的坐标为（3，－1）. 

把x=3代入，得，

∴点E在抛物线上.

（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

下面分两种情形：

①当S1∶S2 =1∶3时，，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S1=2，得，解得；

②当S1∶S2=3∶1时，

此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S1= 6，得，

解得.

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）

法二：存在点P（a，0）. 记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂ = 3，

此时S₁∶S₂不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，

解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，

∴Q（3a－6，2）

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分两种情形：

①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；

∴4a－7 = 2，解得；

②当S1∶S2 = 3∶1时，；

∴4a－7 = 6，解得；

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）