Question

）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠BOC＝90º＋∠A；    ②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
③设OD＝m，AE＋AF＝n，则S_△AEF＝mn； ④EF是△ABC的中位线．
其中正确的结论是_____________．

Answer 1

①②

解析解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FO=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确．
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?（AE+AF）=mn；故③错误；
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，∠COF=∠BCO，
又，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴EB=EO，FC=FO，
假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC，
∴EO=EA，FO=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，所以④结论不正确
∴其中正确的结论是①②．
故答案为：①②．