Question

已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（-2，0），（2，0）．

（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为（0，4），
∴可设抛物线解析式为y=ax²+4，
又∵抛物线过点（2，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+4；

（2）①如图，连接CE，CD．
∵OD是⊙C的切线，∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=，
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC=；

②存在k=2，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上．理由如下：
设抛物线y=-x²+4向右平移k个单位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它与y=-x²+4交于点P，
由-（x-k）²+4=-x²+4，解得x₁=，x₂=0（不合题意舍去），
当x=时，y=-k²+4，
∴点P的坐标是（，-k²+4）．
设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，
得mk=4，解得m=，
∴直线OD的解析式为y=x，
若点P（，-k²+4）在直线y=x上，得-k²+4=•，
解得k=±2（负值舍去），
∴当k=2时，O、P、D三点在同一条直线上．
分析：（1）由抛物线的顶点为（0，4），可设抛物线解析式为y=ax²+4，再将点（2，0）代入，求出a=-1，即可得到抛物线解析式为y=-x²+4；
（2）①连接CE，CD，先根据切线的性质得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后解Rt△CDO，得出OC=，则k=OC=；
②设抛物线y=-x²+4向右平移k个单位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它与y=-x²+4交于点P，先求出交点P的坐标是（，-k²+4），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x，然后将点P的坐标代入y=x，即可求出k的值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线平移的规律，直线与圆相切，解直角三角形，两函数交点坐标的求法，三点共线的条件，综合性较强，难度中等．其中（2）②除了可以将点P的坐标（，-k²+4）代入直线OD的解析式，建立关于k的方程外，还可以利用相似三角形对应边成比例列式求解．