Question

【题目】问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）2或　a2+2ab+b2

∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：

（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：13+23＝（1+2）2＝32

尝试解决：

（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝　 　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

（3）问题拓广：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2

【解析】

（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；

（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；

（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．

（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，

右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

这就验证了平方差公式；

（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，

因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；

G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；

而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，

由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；

故答案为：62；

（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，

又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），

∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．

故答案为：[n（n+1）]2．