Question

配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a²≥0，所以3a²+1≥1，即：3a²+1有最小值1，此时a=0；同样，因为-3（a+1）²≤0，所以-3（a+1）²+6≤6，即-3（a+1）²+6有最大值6，此时 a=-1．
①当x=

1

时，代数式-2（x-1）²+3有最

大

（填写大或小）值为

3

．
②当x=

2

时，代数式-x²+4x+3有最

大

（填写大或小）值为

7

．
③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；
②将代数式前两项提取-1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；
③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16-2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．

解答：解：①∵（x-1）²≥0，
∴当x=1时，（x-1）²的最小值为0，
则当x=1时，代数式-2（x-1）²+3的最大值为3；
②代数式-x²+4x+3=-（x²-4x+4）+7=-（x-2）²+7，
则当x=2时，代数式-x²+4x+3的最大值为7；
③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16-2x）m，
∴花园的面积为x（16-2x）=-2x²+16x=-2（x²-8x+16）+32=-2（x-4）²+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m²．
故答案为：①1；大；3；②2；大；7

点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．