Question

【题目】△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转α°，得到线段AE，连接BE．

（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE与AB的数量关系是 ．

（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明．

（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q为BA延长线上的一点，将QD绕点Q顺时针旋转120°，得到线段QE，DE⊥BC，求AQ的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2），见解析；（3）

【解析】

（1）根据SAS可证△ABE≌△ACD，进而可得BE=CD，结合BD+CD=BC可得BD+ BE=BC，再根据等腰直角三角形中BC=即可证得；

（2）过点A作AH⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，则，由（1）可知BD+ BE=BC，由此即可得；

（3）过Q点作QF∥AC交BC延长线于点F，先证∠BQF =120°，BQ=QF，进而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，进而可证得，再根据cos∠EBD==cos60°=可求得，进而求得，最后根据AQ=BQ－AB即可得到答案．

解：（1）

理由如下：

∵∠EAD=∠BAC=90°

∴∠EAB=∠DAC

在△ABE与△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴BE=CD，

∵BD+CD=BC

∴BD+ BE=BC

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=

∴BD+ BE=；

（2）结论：，

理由如下：

过点A作AH⊥BC，

∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ABC=30°，

在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=

∴BH=AB，

∴

由（1）同理可知BD+ BE=BC，

∴；

（3）过Q点作QF∥AC交BC延长线于点F，

∴

∴∠QFC=∠QBF =30°，∠BQF =120°

∴BQ=QF

由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，

∴cos∠EBD==cos60°=

∵

，

∴AQ=BQ－AB=．