Question

（2008•门头沟区二模）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1）请在图中连接两条线段（正方形的对角线除外）．要求：①所连接的两条线段是以图中已标有字母的点为端点；②所连接的两条线段互相垂直．
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为

4 3

3

cm2，旋转的角度n是多少度？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易证Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠DAO=∠OAE，则问题得证；
（2）四边形AEOD，若连接OA，则OA把四边形评分成两个全等的三角形，根据解直角三角形得条件就可以求出旋转的角度．

解答：解：（1）AO⊥DE．
证明：∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，

AD=AE AO=AO

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE），
∴AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）．

（2）n=30°．
理由：连接AO，
∵四边形AEOD的面积为

4 3

3

，
∴三角形ADO的面积

AD×DO

2

=

2 3

3

，
∵AD=2，
∴DO=

2 3

3

，
在Rt△ADO中，
∵tan∠DAO=

DO

AD

=

3

3

，
∴∠DAO=30°，
∴∠EAD=60°，∠EAB=30°，
即n=30°．故旋转的角度n是30°．

点评：本题考查了正方形和旋转的性质，利用旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解题关键．