Question

24、如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共的顶点A，连BG、DE，M为DE的中点，连AM．
（1）如图1，AE、AG分别与AB、AD重合时，AM和BG的大小和位置关系分别是；

BG=2AM

、

AM⊥BG

；
（2）将图1中的正方形AEFG绕A点逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角时，如图2，则（1）中的结论是否仍成立？试证明你的结论；
（3）若将图1中的正方形AEFG绕A点逆时针旋转α（90°＜α＜180°）角时，则AM和BG的大小和位置关系分别是：

BG=2AM

、

AM⊥BG

，请你画出图形，并直接写出结论，不要求证明．

Answer 1

分析：（1）可证明△ABG≌△ADE，BG=DE，又AM是△ADE的斜边上中线，所以AM=$frac{1}{2}$DE，故BG=$frac{1}{2}$DE，所以BG=2AM，由角相等及互余关系，可得AM⊥BG；
（2）要证明BG=2AM，可将线段AM延长一倍，此时的线段就等于BG，用旋转法证明三角形全等，得出结论；
（3）学会仿照前面的图形画图．

解答：解：（1）BG=2AM，AM⊥BG；

（2）延长AM至K，使MK=AM，连接DK、EK，得平行四边形ADKE．
则EK⊥DC，∠EKD=∠EAD，
∴∠KDC=∠GAD，
∴∠BAG=∠ADK，
易证△ABG≌△DAK，
∴BG=2AM，∠DAK=∠ABG，
∴AM⊥BG．

（3）如图所示，BG=2AM，AM⊥BG．

点评：本题考查构造旋转图形，运用旋转的性质解题的方法．
注意旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．