Question

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，
（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．

Answer 1

分析：（1）首先证明AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然后根据题意代入相关数值即得y关于x的函数解析式．
（2）先假设存在点E，使△ABC∽△EAP，则有AB：BC=AE：AP，把第一问的结果代入可得到一个一元二次方程，解此方程看结果是否符合题意，合题意，则存在此点，否则不存在此点．
（3）此问要分情况讨论：当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时；根据解直角三角形分别求解，不符合题意的解舍去．

解答：解：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，
∴

AE

BC

=

AP

BP

，（1分）
∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）
∵AE=x，AP=y，∴

x

6

=

y

10-y

，
∴y=

10x

6+x

（x＞0）；（4分）

（2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似；
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，
∴△ABC∽△EAP，（6分）
∴

AB

BC

=

AE

AP

（7分）
∴

10

6

=

x

10x 6+x

解得：x₁=

32

3

，x₂=0（舍去）（8分）
∴当AE的长为

32

3

时，△ABC∽△EAP；

（3）∵⊙C与⊙E相切，AE=x
①当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²
∴x²+8²=（x+2）²解得：x=15∴⊙E的半径为9．（10分）
②当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²，
∴x²+8²=（14-x）²解得：x=

33

7

∴⊙E的半径为

9

7

．（12分）
③当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²
∴x²+8²=（x-2）²解得：x=-15（舍去），
∴内切不成立（14分）
∴当⊙C与⊙E相切时，⊙E的半径为9或

9

7

．

点评：此题难度较大，综合考查函数、方程与圆的相切，三角形相似的判定与性质、平行线性质等知识．