Question

在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

Answer 1

解：（1）∵25≦28≦30，
，
∴把28代入y=40﹣x得，
∴y=12（万件），
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；
（2）①当 25≦x≦30时，
W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+60x﹣925=﹣（x﹣30）²﹣25，
故当x=30时，W最大为﹣25，及公司最少亏损25万；
②当30＜x≤35时，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+35x﹣625=﹣（x﹣35）²﹣12.5，
故当x=35时，W最大为﹣12.5，及公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（3）①当 25≤x≤30时，
W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+59x﹣782.5，
令W=67.5，则﹣x²+59x﹣782.5=67.5
化简得：x²﹣59x+850=0 ，
解得： x₁=25；x₂=34，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≦x≦30；
②当30＜x≤35时，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+35.5x﹣547.5，
令W=67.5，则﹣x²+35.5x﹣547.5=67.5，
化简得：x²﹣71x+1230=0  
解得：x₁=30；x₂=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≦35，
答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≦x≦30或
30＜x≦35．