Question

在下图①，②，③，④中，四边形ABCD是正方形，直线A′C′，B′D′互相垂直于O，A′C′分别与直线AB，CD交于A′，C′，B′D′分别与直线BC，AD交于B′，D′．

（1）在图③中，线段A′C′与B′D′相等吗？请证明．
（2）在图①，②，④中，线段A′C′与B′D′之间的数量关系与（1）相同吗？若有不相同的情况，请指出并说明其理由；若相同，那就从图②，④中选一个为例给予证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形性质得出∠ABD=∠ADB=45°，求出∠A′=45°=∠ABD，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）求出∠A′=∠ABD，推出A′O=BO，求出∠ODC′=∠OCD，推出DO=OC′，相加即可．

解答：（1）A′C′=B′D′，
证明：在图③中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠DBA=∠ADB=45°，AD=AB，
∵A′D⊥BD，
∴∠A′DB=90°，
∴∠A′=∠A′DA=45°，
∴∠A′=∠ABD，
∴A′D=BD，
即A′C′=B′D′．

（2）证明：如图②，
∵由（1）知：∠DAB=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°，
∵A′C′⊥B′D′，
∴∠A′OB′=90°，
∴∠A′=45°，
∴∠A′=∠ABD，
∴A′O=BO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠DC′O=∠A′=45°=∠BDC，
∴DO=CO，
∵BO=A′O，
∴A′C′=B′D′．

点评：本题考查了正方形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：正方形的四个角都是直角，正方形对角线平分一组对角．